در معادلهٔ $2x^2 + x + 5 = 0$، بدون حل معادله، مجموع و حاصل ضرب ریشه‌ها را به دست آورید.
برای یک معادلهٔ درجه دوم کلی $ax^2 + bx + c = 0$، می‌توان مجموع و حاصل ضرب ریشه‌ها را بدون حل معادله از طریق روابط زیر به دست آورد:
$$\text{مجموع ریشه‌ها}: S = -\frac{b}{a}$$
$$\text{حاصل ضرب ریشه‌ها}: P = \frac{c}{a}$$
معادلهٔ داده شده: $2x^2 + x + 5 = 0$.
ضرایب: $$a = 2, \quad b = 1, \quad c = 5$$
**۱. محاسبهٔ مجموع ریشه‌ها ($S$)**
$$S = -\frac{b}{a} = -\frac{1}{2}$$
**۲. محاسبهٔ حاصل ضرب ریشه‌ها ($P$)**
$$P = \frac{c}{a} = \frac{5}{2}$$
*(نکتهٔ جانبی: اگر $\Delta$ را بررسی کنیم: $\Delta = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(2)(5) = 1 - 40 = -39$. چون $\Delta < 0$ است، این معادله ریشهٔ حقیقی ندارد. با این حال، روابط مجموع و حاصل ضرب برای **ریشه‌های مختلط** نیز برقرار است.)*
**مجموع ریشه‌ها**: $$-\frac{1}{2}$$
**حاصل ضرب ریشه‌ها**: $$\frac{5}{2}$$
